Xarxes de dades · Fonaments · Guia d'estudi

Sistemes de numeració

Decimal, binari i hexadecimal: com es compta en cada sistema i com es passa d'un a l'altre. Prova les eines: et fan les conversions pas a pas i et posen exercicis infinits.

1 · Com es compta?2 · Decimal ↔ binari 3 · Binari ↔ hex 4 · Decimal ↔ hex Eines i pràctica

Bloc 1

Com es compta en cada sistema?

Tres sistemes

Base 10

Decimal345

Dígits del 0 al 9. El que fem servir cada dia.

Base 2

Binari1011

Només 0 i 1. El que entenen els circuits: hi ha corrent o no.

Base 16

Hexadecimal1A3F

Del 0 al 9 i de la A a la F. Binari abreujat per a persones.

L'ordinador treballa en binari, i l'hexadecimal ens permet llegir i escriure aquest binari sense perdre'ns entre zeros i uns.

La idea clau: cada posició té un valor

Un dígit val més o menys segons on és. Cada posició val una potència de la base, començant per 1 a la dreta.

Sistema	Valor de les posicions (→ dreta)	Exemple
Decimal	… 1000 · 100 · 10 · 1	345 = 3·100 + 4·10 + 5·1
Binari	… 8 · 4 · 2 · 1	1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
Hexadecimal	… 4096 · 256 · 16 · 1	1A = 1·16 + 10·1 = 26

Com s'escriuen: el mateix «10» pot valer 2, 10 o 16

S'escriu	Sistema	Val
10₁₀	Decimal	10
10₂ · 0b10	Binari	2
10₁₆ · 0x10	Hexadecimal	16

A mà es fa servir un subíndex (1101₂); en programació, un prefix (0b1101, 0xAD). En xarxes sovint no s'indica: una MAC (00:1A:2B…) ja se sap que és hexadecimal. Si hi pot haver dubte, indica sempre la base.

Del 0 al 15 en els tres sistemes

Dec	Bin	Hex	Dec	Bin	Hex
0	0000	0	8	1000	8
1	0001	1	9	1001	9
2	0010	2	10	1010	A
3	0011	3	11	1011	B
4	0100	4	12	1100	C
5	0101	5	13	1101	D
6	0110	6	14	1110	E
7	0111	7	15	1111	F

Amb 4 bits arribem just fins al 15: 1111 = F. Aquesta coincidència és la clau del bloc 3.

Bloc 2

Decimal ↔ binari

Decimal → binari · Mètode 1

Divisions successives per 2

Divideix per 2 i anota el quocient i el residu (0 o 1).
Repeteix amb el quocient fins que sigui 0.
Llegeix els residus de baix a dalt.

13 ÷ 2 = 6 residu 1 6 ÷ 2 = 3 residu 0 3 ÷ 2 = 1 residu 1 1 ÷ 2 = 0 residu 1 ↑ de baix a dalt: 1101

Vols veure-ho amb el teu número? Fes servir l'eina Pas a pas.

Decimal → binari · Mètode 2

Restar potències de 2

2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
128	64	32	16	8	4	2	1

Busca la potència més gran que no passi del nombre, resta-la i marca un 1. Repeteix fins a 0. Les posicions que no fas servir són 0.

45 − 32 = 13 → 13 − 8 = 5 → 5 − 4 = 1 → 1 − 1 = 0 Fem servir 32, 8, 4 i 1 → 101101 89 − 64 = 25 → 25 − 16 = 9 → 9 − 8 = 1 → 1 − 1 = 0 Fem servir 64, 16, 8 i 1 → 01011001 (en un byte, 8 bits)

Binari → decimal

Suma les potències on hi ha un 1

bit: 1 0 1 1 0 1 1 0 valor: 128 64 32 16 8 4 2 1 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182

Laboratori de bits

Interactiu

Encén i apaga bits i mira com canvien el decimal i l'hexadecimal. Fixa't que cada meitat del byte és un dígit hex.

Decimal

Bloc 3

Binari ↔ hexadecimal

1 dígit hexadecimal = 4 bits

16 = 2⁴: amb 4 bits hi ha 16 combinacions (de 0000 a 1111), tantes com dígits hex (de 0 a F). Per això 1 byte = 8 bits = 2 dígits hex: 1010 1101 = AD.

Passar de binari a hexadecimal no demana cap càlcul: només cal substituir cada grup de 4 bits.

Binari → hexadecimal

Agrupa de 4 en 4, des de la dreta

Separa els bits en grups de 4, començant per la dreta.
Si l'últim grup queda curt, afegeix zeros a l'esquerra.
Canvia cada grup pel seu dígit (taula del bloc 1).

Agrupador

Interactiu

Binari

Hexadecimal → binari

Cada dígit es converteix en 4 bits

3F → 3 = 0011 · F = 1111 → 00111111 2A7 → 2 = 0010 · A = 1010 · 7 = 0111 → 001010100111

Escriu sempre els 4 bits de cada dígit (3 = 0011, no 11). Només els zeros del principi de tot es poden treure.

Bloc 4

Decimal ↔ hexadecimal

Decimal → hexadecimal

Dos camins

1 · Passant pel binari

173 → 10101101 → 1010 1101 → AD

El més segur si domines el binari.

2 · Divisions per 16

173 ÷ 16 = 10 r 13 (D)
10 ÷ 16 = 0 r 10 (A) → AD

Més ràpid amb nombres grans. Residus de 10 a 15 → A a F.

1000 ÷ 16 = 62 residu 8 62 ÷ 16 = 3 residu 14 → E 3 ÷ 16 = 0 residu 3 ↑ 1000 = 3E8

Hexadecimal → decimal

Multiplica per les potències de 16

16³	16²	16¹	16⁰
4096	256	16	1

AD = 10·16 + 13·1 = 160 + 13 = 173 3E8 = 3·256 + 14·16 + 8·1 = 768 + 224 + 8 = 1000

Recorda canviar primer les lletres pel seu valor: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

Eines i pràctica

Ara et toca a tu

Divisions pas a pas

Interactiu

Escriu un nombre decimal i tria la base. L'eina fa les divisions i et marca els residus.

Convertidor

Interactiu

Escriu a qualsevol casella i les altres s'actualitzen. Fes-lo servir per comprovar els teus resultats, no per fer-los!

Decimal Binari Hexadecimal

Practica sense límit

Autocorrecció

Tipus 0 / 0

Mapa de conversions

Conversió	Mètode
Decimal → binari	Divisions per 2 (residus de baix a dalt) o restar potències de 2
Binari → decimal	Sumar les potències de 2 on hi ha un 1
Binari → hex	Grups de 4 bits des de la dreta
Hex → binari	Cada dígit, 4 bits (sense oblidar els zeros)
Decimal → hex	Passant pel binari, o divisions per 16
Hex → decimal	Potències de 16, o passant pel binari

On els trobem?

IP i màscares · binari

192 = 11000000

Cada octet és un nombre de 8 bits.

MAC · hexadecimal

00:1A:2B:3C:4D:5E

6 bytes, 2 dígits hex cadascun.

IPv6 · hexadecimal

2001:db8::1

128 bits en grups de dígits hex.

Colors web · hexadecimal

#F28C28

R 242 · G 140 · B 40: un byte per color.

Errors típics

Residus de dalt a baix

13 → 1011 (val 11). Bé: de baix a dalt → 1101.

Agrupar per l'esquerra

101101 → 1011 01. Bé: des de la dreta → 0010 1101 = 2D.

Oblidar zeros d'un grup

A3 → 1010 11 (val 43). Bé: 3 = 0011 → 10100011 = 163.

No indicar la base

«10» és ambigu. Bé: 10₂ = 2 · 10₁₆ = 16.

Test final

Autocorrecció

Repte: el fons fosc d'aquesta guia és el color #0F2A4A. Converteix cada parell a decimal (vermell, verd i blau). Quin és el més alt?